当前位置:首页 > 职场资讯 > 职业规划

2016-2017年高三数学(理)上期中试题(含答案)

时间:2018-05-15 22:28:12

  据开学已经过去半个学期之久了,意味着期中考试也到来了!下面是小编整理的2016-2017年高三数学(理)上期中试题,欢迎阅读!

  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  1.若集合 , ,则 ( )

  A. B. C. D.

  2.已知复数 ,若 是实数,则实数 的值为 ( )

  A. B. C. D.

  3.以下判断正确的是 ( )

  .函数 为 上可导函数,则 是 为函数 极值 点的充要条件

  .命题“ ”的否定是“ ”

  C.“ ”是“函数 是偶函数”的充要条件

  D. 命题“在 中,若 ,则 ”的逆命题为假命题

  4.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 (   )

  A.120 cm3 B.100 cm3 C.80 cm3 D.60 cm3

  5.由曲线 ,直线 及坐标轴所围成图形的面积为

  ( )

  A. B. C. D.

  6.设等差数列 的前 项和为 ,若 , , ,则 ( )

  A. B. C. D.

  7.我国古代数 学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今 有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出的结果 ( )

  A. B. C. D.

  8.设 ,则 ( )

  A. B. C. D.

  9.已知函数 ,则 的图象大致为 ( )

  A B C D

  10.函数 的图象向右平移 个单位后,与函数 的

  图象重合,则 的值为 ( )

  A¬. B. C. D.

  11.椭圆 : 的左、右焦点分别为 ,焦距为 . 若直线y= 与椭圆 的一个交点M满足 ,则该椭圆的离心率等于 ( )

  A. B. C. D.

  12.已知定义在R上的函数 满足: 且 , ,则方程 在区间 上的所有实根之和为 ( )

  A. B . C. D.

  第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

  二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共 20分.

  13.已知向量 .

  14.已知 ,则 .

  15.已知 满足约束条件 若 的最小值为 ,则 .

  16.在 中,内角 的对边分别为 ,已知 , ,

  则 面积的最大值为 .

  三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

  17.(本小题满分12分)

  已知函数 .

  (Ⅰ)求 的最小正周期及对称中心;

  (Ⅱ)若 ,求 的最大值和最小值.

  18.(本小题满分12分)

  如图,在直三棱柱 中, , 是棱 上

  的一点, 是 的延长线与 的延长线的交点,且 ∥平面 .

  (Ⅰ)求证: ;

  (Ⅱ)求二面角 的平面角的正弦值.

  19.(本小题满分12分)

  随着苹果7手机的 上市,很多消费者觉得价格偏高,尤其是一部分大学生可望而不可及,因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式,某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计,统计结果如下表所示.

  付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期

  频数 35 25

  10

  已知分3期付款的频率为0.15,并且销售一部苹果7手机,顾客分1期付款,其利润为1000元;分2期或3期付款,其利润为1500元;分4期或5期付款,其利润为2000元,以频率作为概率.

  (Ⅰ)求 , 的值,并求事件 :“购买苹果7手机的3位顾客中,至多有1位分4期付款”的概率;

  (Ⅱ)用 表示销售一部苹果7手机的利润,求 的分布列及数学期望 .

  20.(本小题满分12分)

  已知抛物线 : ,直线 交 于 两点, 是线段 的中点,过点 作 轴的垂线交 于点

  (Ⅰ)证明:抛物线 在点 的切线与 平行;

  (Ⅱ)是否存在实数 ,使以 为直径的圆 经过点 ?若存在,求 的值;若不存在,说明理由.

  21.(本小题满分12分)

  已知函数 .

  (Ⅰ)当 时,求 的单调区间;

  (Ⅱ)若函数 在其定义域内有两个不同的极值点.

  (ⅰ)求 的取值范围;

  (ⅱ)设两个极值点分别为 ,证明: .

  请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

  22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

  在平面直角坐标系 中,以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的参数方程为 ( 为参数),曲线 的极坐标方程为 .

  (Ⅰ)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;

  (Ⅱ)设 为曲线 上一点, 为曲线 上一点,求 的最小值.

  23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

  已知函数 ,且 的解集为 .

  (Ⅰ)求 的值;

  (Ⅱ)若 ,且 ,求证: .

  兰州一中2016-2017-1学期期中考试

  高三数学试题参考答案(理科)

  一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。)

  题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

  答案 A D C B C C A C A B D B

  二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

  13. 14. 15. 16.

  三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

  17.(本小题满分12分)

  已知函数 .

  (Ⅰ)求 的最小正周期及对称中心;

  (Ⅱ)若 ,求 的最大值和最小值.

  解:(Ⅰ) …4分

  ∴ 的最小正周期为 , ……5分

  令 ,则 ,

  ∴ 的对称中心为 ……6分

  (Ⅱ)∵ ∴ ......8分

  ∴ ∴ .......10分

  ∴当 时, 的最小值为 ;当 时, 的最大值为 ……12分

  18.(本小题满分12分)

  如图,在直三棱柱 中, , 是棱 上

  的一点, 是 的延长线与 的延长线的交点, 且 ∥平面 .

  (Ⅰ)求证: ;

  (Ⅱ)求二面角 的平面角的正弦值.

  解:(Ⅰ)连接 交 于 ,连接 .

  ∵ ∥平面 , 面 ,面 面

  ∴ ∥ ……………2分

  又∵ 为 的中点,

  ∴ 为 中点∴ 为 中点 ……………4分

  ∴ ∴ ……………5分

  (Ⅱ)∵在直三棱柱 中,

  ∴ ……………6分

  以 为坐标原点,以 , 所在直线建立空间直角坐标系如图所示。

  由(Ⅰ)知 为 中点

  ∴点 坐标分别为

  , , ,

  设平面 的法向量

  ∵ 且

  ∴ 取 ∴ ……………8 分

  同理:平面 的法向量 ……………10分

  设二面角 平面角为

  则 , ∴ ……………12分

  19.(本小题满分12分)

  随着苹果7手机的上市,很多消费者觉得价格偏高,尤其是一部分大学生可望而不可及,因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式,某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计,统计结果如下表所示.

  付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期

  频数 35 25

  10

  已知分3期付款的频率为0.15,并且销售一部苹果7手机,顾客分1期付款,其利润为1000元;分2期或3期付款,其利润为1500元;分4期或5 期付款,其利润为2000元,以频率作为概率.

  (Ⅰ)求 , 的值,并求事件 :“购买苹果7手机的3位顾客中,至多有1位分4期付款”的概率;

  (Ⅱ)用 表示销售一部苹果7手机的 利润,求 的分布列及数学期望 .

  解:(Ⅰ)由 ,得 因为 所以 ………3分

  ………6分

  (Ⅱ)设分期付款的分期数为 ,则

  …8分

  的所有可能取值为1000,1500,2000.

  ………10分

  所以 的分布列为

  1000 1500 2000

  P 0.35 0.4 0.25

  ………12分

  20.(本小题满分12分)

  已知抛物线 : ,直线 交 于 两点, 是线段 的中点,过点 作 轴的垂线交 于点

  (Ⅰ)证明:抛物线 在点 的切线与 平行;

  (Ⅱ)是否存在实数 ,使以 为直径的圆 经过点 ,若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.

  解:(Ⅰ)解法一:设 , ,把 代入 得 ,

  得 .

  ∵ , 点的坐标为 .     ………………………2分

  ∵  ∴ ,

  即抛物线在点 处的切线的斜率为 .            ………………………4分

  ∵直线 : 的的斜率为 ,∴ .        ……………………6分

  解法二:设 , ,把 代入 得 ,

  得 .

  ∵ , 点的坐标为 .     …… ………………2分

  设抛物线在点 处的切线 的方程为 ,

  将 代入上式得 ,        ………………………4分

  直线 与抛物线 相切, , , 即 .                    …………………6分

  (Ⅱ)假设存在实数 ,存在实数 使 为直径的圆 经过点 .

  是 的中点, .

  由(Ⅰ)知

  轴, .  …………………8分

  ∵

  .     ……………………10分

  ,∴ ,

  故,存在实数 使 为直径的圆 经过点 .      ………………12分

  21.(本小题满分12分)

  已知函数

  (Ⅰ)当 时,求 的单调区间;

  (Ⅱ)若函数 在其定义域内有两个不同的极值点.

  (ⅰ)求 的取值范围;

  (ⅱ)设两个极值点分别为 ,证明: .

  解:(Ⅰ)当 时, ;

  函数 的定义域为 ,

  当 时, ;当 时, .

  所以, 在 上单调递减;在 上单调递增. ………………4分

  (Ⅱ) (ⅰ)依题意,函数 的定义域为 ,

  所以方程 在 有两个不同根.

  即,方程 在 有两个不同根.

  (解法一)转化为,函数 与函数

  的图像在 上有两个不同交点,如图.

  可见,若令过原点且切于函数 图像的直线斜率为 ,

  只须 . ………………6分

  令切点 ,所以 ,又 ,所以 ,

  解得, ,于是 ,

  所以 . ………………8分

  (解法二)令 ,从而转化为函数 有两个不同零点,

  而 ( )

  若 ,可见 在 上恒成立,所以 在 单调增,

  此时 不可能有两个不同零点. ………………5分

  若 ,在 时, ,在 时, ,

  所以 在 上单调增,在 上单调减,

  从而 ………………6分

  又因为在 时, ,在在 时, ,于是只须:

  ,即 ,所以 . ………………7分

  综上所述, ………………8分

  (ⅱ)由(i)可知 分别是方程 的两个根,

  即 , ,

  不妨设 ,作差得, ,即 .

  原不等式 等价于

  令 ,则 , ………………10分

  设 , ,

  ∴函数 在 上单调递增,

  ∴ ,

  即不等式 成立,

  故所证不等式 成立. ………………12分

  请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

  22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

  在平面直角坐标系 中,以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的参数方程为 ( 为参数),曲线 的极坐标方程为 .

  (1)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程;

  (2)设 为曲线 上一点, 为曲线 上一点,求 的最小值.

  解:(1)由 消去参数 得,曲线 的普通方程得 .....3分

  由 得,曲线 的直角坐标方程为 ....5分

  (2)设 ,则点 到曲线 的距离为

  ...........8分

  当 时, 有最小值0,所以 的最小值为0 .............10分

  23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

  已知函数 ,且 的解集为 .

  (Ⅰ)求 的值;

  (Ⅱ)若 ,且 ,求证: .

  解:(Ⅰ)因为 ,

  所以 等价于 ,

  由 有解,得 ,且其解集为 .

  又 的解集为 ,故 ............5分

  (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,又 , ∴ ≥ =9.

  (或展开运用基本不等式)